1. Arrange the following in descending powers of x:

(i) x² + x⁵+ 2x³ + x² – 2 + 3x

(ii) x⁸ + x⁹ + x¹² – 3x⁷ + x² + 1

(iii) x²y⁶ + x⁵y² + x⁶y⁴ + 3x²y⁸

Solution:

(i) x² + x⁵+ 2x³ + x² – 2 + 3x

x⁵ + 2x³ + x² + 3x-2

 

(ii) x⁸ + x⁹ + x¹² – 3x⁷ + x² + 1

x¹² + x⁹ + x⁸ – 3x⁷ + x +1

 

(iii) x²y⁶ + x⁵y² + x⁶y⁴ + 3x²y⁸

x⁶y⁴ + x⁵y² + x²y⁶ + 3x²y⁸

---

2. Perform the following divisions:

(i) 3x² + 4x –  4 by x+2

x+2 ) 3x² + 4x – 4 (3x – 2

3x² + 6x

(-)      (-)

———————–

-2x – 4

-2x – 4

(+)   (+)

————————

0

---

(ii)  2x² – 9x + 9 by x – 3

x – 3 ) 2x² – 9x + 9 (2x – 3

2x² – 6x

(-)      (+)

—————————————

-3x + 9

-3x + 9

(+)   (-)

———————————

0

---

(iii) 2x² + 2x + 11 by x + 3

x + 3 ) 2x² + 2x + 11 (2x – 4

2x² + 6x

(-)     (-)

————————————–

– 4x + 11

– 4x + 12

(+)  (-)

——————————-

-1

 

(iv) 3x² – 13x + 11 by x – 3

x – 3) 3x² – 13x + 11 (3x – 4

3x² – 9x

(-)     (+)

————————————–

-4x + 11

-4x + 12

(+)   (-)

——————————-

-1

 

(v) x³ – 5x² + 8x – 4 by x – 2

x – 2 ) x³ – 5x² + 8x – 4 (x² – 3x + 2

x³ – 2x²

(-)   (+)

———————————————–

-3x² + 8x

-3x² + 6x

(+)   (-)

——————–

2x – 4

2x – 4

(-)  (+)

——————–

0

 

(vi) 6x³ + x² – 23x + 12 by 2x – 3

2x – 3 ) 6x³ + x² – 23x + 12  (3x² + 5x – 4

6x³ – 9x²

(-)    (+)

—————————————

10x² –  23x

10x² – 15x

(-)   (+)

——————–

-8x + 12

-8x + 12

(+)  (-)

——————–

0

 

(vii) 2x² – 7x + 6 by x – 2

x – 2 ) 2x² – 7x + 6 (2x – 3

2x² – 4x

(-)    (+)

————————

-3x + 4

-3x + 4

(+)   (-)

————————-

0

 

(viii) x⁴ – 0.x³ – 3x² + 0.x – 4 by x + 2

x+2 ) x⁴ – 0.x³ – 3x² + 0.x – 4 (x³ – 2x² + x – 2

x⁴ + 2x³

(-)   (-)

———————-

-2x³ – 3x²

-2x³ – 4x²

(+)   (+)

———————-

x² + 0.x

x² + 2x

(-)  (-)

—————————

-2x – 4

-2x – 4

(+)  (+)

—————————

0

 

(ix) 3x² + x³ + 4 by x + 2

x + 2) x³ + 3x² +0.x + 4 (x² + x – 2

x³ + 2x²

(-)    (-)

—————————

x² + 0.x

x² + 2x

(-)   (-)

—————————-

-2x + 4

-2x  – 4

(+)   (+)

—————————-

0

 

(xi) x⁴ – 16 by x – 2

x – 2 ) x⁴ + 0.x³ + 0.x² + 0.x – 16 (x³ + 2x² + 4x + 8

x⁴ – 2x³

(-)   (+)

———————–

2x³ + 0.x²

2x³ – 4x²

(-)   (+)

————————

4x² + 0.x

4x² – 8x

(-)   (+)

———————–

8x – 16

8x – 16

(-)  (+)

——————-

0

 

(xii) x³ – 1 by x – 1

x – 1)x³ + 0.x² + 0.x  – 1 (x² + x + 1

x³ – x²

(-)    (+)

————————

x² + 0.x

x² – x

(-)     (+)

————————-

x – 1

x – 1

(-) (+)

————————

0

 

(xiii) 8x³ – 27 by 2x – 3

2x – 3 ) 8x³ – 0.x² – 0.x – 27 ( 4x² + 6x + 9

8x³ – 12x²

(-)      (+)

—————————

12x² – 0.x

12x² – 18x

(-)        (+)

—————————

18x  – 27

18x – 27

(-)     (+)

—————————

0

 

3 . Divide

(i)x⁵ + a⁵ by x + a

x + a ) x⁵ + 0.x⁴.a + 0.x³.a² + 0.x².a³ + 0.x.a⁴ + a⁵ (x⁴ – x³a + x²a² – xa³ + a⁴

x⁵ + x⁴.a

(-)   (-)

———————————–

-x⁴.a + 0.x³.a²

-x⁴.a² – x³a²

(+)       (+)

—————————————

x³a² + 0.x².a³

x³a² + x².a³

(-)     (-)

————————————-

-x² a³ + 0.x.a⁴

-x².a³ – xa⁴

(+)      (+)

———————————

xa⁴ + a⁵

xa⁴ + a⁵

(-)     (-)

——————————

0

 

(ii) x⁷ – y⁷ by x – y

---

(iiii) x⁹ + y⁹ by x³ + y³

x³ + y³ ) x⁹ + 0.x⁶.y³ + 0.x³.y⁶ + y⁹ (x⁶ – x³y³ + y⁶

x⁹  + x⁶y³

(-)    (-)

——————————

-x⁶y³ + 0.x³y⁶

-x⁶y³ – x³y⁶

(+)     (+)

—————————

x³y⁶ + y⁹

x³y⁶ + y⁹

(-)     (-)

—————————–

0

---

4. Divide a + b by a^1/3 + b^1/3

a^1/3 + b^1/3 ) a + 0.a^2/3.b^1/3 + 0.a^1/3.b^2/3 + b (a^2/3 – a^1/3 + b^2/3

a + a^2/3b^1/3

(-)    (-)

—————————–

– a^2/3b^1/3 + 0. a^1/3b^2/3

– a^2/3b^1/3 – a^1/3b^2/3

(+)        (+)

—————————–

a^1/3b^2/3 + b

a^1/3b^2/3 + b

(-)          (-)

—————————–

0

---

5. Divide a²– b² by a^1/2 – b^1/2

Solution:

a^1/2 – b^1/2 ) a² +0. a^3/2 b^1/2 + 0.ab +0.a^1/2.b^3/2 – b²(a^3/2 + ab^1/2 + a^1/2.b^3/2 + b²

a² – a^3/2b^1/2

(-)  (+)

—————————-

+ a^3/2 b^1/2 + 0.ab

+ a^3/2 b^1/2 – ab

(-)           (+)

—————————

+ab – 0.a^1/2.b^3/2

+ab – a^1/2.b^3/2

(-)      (+)

—————————-

+ a^1/2.b^3/2 – b²

+ a^1/2.b^3/2 – b²

(-)           (+)

—————————-

0

---

6. Which of the following are visible by x+a? (that is the division leaves 0 remainder?

(i)x³-a³

x+a ) x³ + 0.x².a + 0.xa² – a³(x² – xa + a²

x³ + x²a

(-)  (-)

——————————–

-x²a + 0.xa²

-x²a – xa²

(+)   (+)

—————————–

+ xa² – a³

+xa² + a³

(-)   (-)

—————————–

-2a³

Therefore (x+a) is not divisible by x³ – a³ since it leaves a remainder = -2a³

---

(ii) x⁴ – a⁴

x+a ) x⁴ + 0.x³a + 0.x²a² + 0.xa³ + a⁴(x³ – x²a +xa²

x⁴ + x³a

(-)   (-)

————————–

-x³a + 0.x²a²

-x³a  – x².a²

(+)  (+)

———————–

+x²a² + 0.xa³

+x²a² + xa³

(-)      (-)

——————–

-xa³+a⁴

-xa³+a⁴

(+)  (-)

———————-

0

Therefore (x+a) is divisible by x⁴ – a⁴

---

(iii) x⁷ + a⁷

Therefore, (x+a) divides x⁷ + a⁷

---

(iv) x⁸ + a⁸

Thus, (x + a) divides x⁸ + a⁸